Diferença Finita

Muitas vezes encontramos problemas de interpolação cuja tabela de valores conhecidos tem os valores de \(x_i(i = 0, 1, 2, \ldots, n)\) igualmente espaçados

Assim, \(x_{i+1} - x_i = h\), para todo \(i\), sendo \(h\) uma constante.

Dessa forma, a construção da Tabela de Diferenças finitas fica:

  • De ordem zero: \(\Delta^0_{y_i} = y_i\)
  • De primeira ordem: \(\Delta^1_{y_i} = y_{i+1} - y_i = \Delta^0_{y_{i+1}} -\Delta^0_{y_{i}}\)
  • De segunda ordem: \(\Delta^2_{y_i} = \Delta^1_{y_{i+1}} -\Delta^1_{y_{i}} \)

De forma genérica:

Exemplo 1

Dados os pontos:

x \( 1\) \( 2\) \( 3\)
y \(-2\) \(2\) \(10\)

A matriz de diferenças finitas:

\(x\) \(f(x)\) \(\Delta^1_{y_i}\) \(\Delta^2_{y_i}\)
\(1\) \(-2\) \(f[x_0,x_1] = 2-(-2) = 4 \) \(f[x_0,x_1,x_2] = 8-4 = 4\)
\(2\) \(2\) \(f[x_1,x_2] = 10-2 = 8\)  
\(3\) \(10\)    

Resultando na tabela final:

\(x\) \(f(x)\) \(\Delta^1_{y_i}\) \(\Delta^2_{y_i}\)
\(1\) \(-2\) \(4\) \(4\)
\(2\) \(2\) \(8\)  
\(3\) \(10\)    

Exemplo 2

Veja outro exemplo.
Pontos:

x \( 0\) \( 0.5\) \( 1\) \( 1.5\) \( 2\)
y \(2\) \(2\) \(2\) \(-1.75\) \(-16\)

E a construção da tabela de Diferenças Finitas:

\(x\) \(f(x)\) \(\Delta^1_{y_i}\) \(\Delta^2_{y_i}\) \(\Delta^3_{y_i}\) \(\Delta^4_{y_i}\)
\(0\) \(2\) \(f[x_0,x_1] = 2-2 = 0\) \(f[x_0,x_1,x_2] = 0-0 = 0\) \(f[x_0,x_1,x_2,x_3] = -3.75-0 = -3.75\) \(f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4] = -6.75-(-3.75) = -3\)
\(0.5\) \(2\) \(f[x_1,x_2] = 2-2 = 0\) \(f[x_1,x_2,x_3] = -3.75-0 = -3.75\) \(f[x_1,x_2,x_3,x_4] = -10.5-(-3.75) = -6.75\)  
\(1\) \(2\) \(f[x_2,x_3] = -1.75-2 = -3.75\) \(f[x_2,x_3,x_4] = -14.25-(-3.75) = -10.5\)    
\(1.5\) \(-1.75\) \(f[x_3,x_4] = -16-(-1.75) = -14.25\)      
\(2\) \(-16\)        

Resultado na tabela final:

\(x\) \(f(x)\) \(\Delta^1_{y_i}\) \(\Delta^2_{y_i}\) \(\Delta^3_{y_i}\) \(\Delta^4_{y_i}\)
\(0\) \(2\) \(0\) \(0\) \(-3.75\) \(-3\)
\(0.5\) \(2\) \(0\) \(-3.75\) \(-6.75\)  
\(1\) \(2\) \(-3.75\) \(-10.5\)    
\(1.5\) \(-1.75\) \(-14.25\)      
\(2\) \(-16\)        

Programação em Python

Para obter a tabela de diferenças finitas em Python, podemos usar listas e laços:

pontos = [(0, 2), (0.5, 2), (1, 2), (1.5, -1.75), (2, -16)]
tabela = [[y] for _, y in pontos]

for ordem in range(1, len(pontos)):
    for linha in range(len(pontos) - ordem):
        valor = tabela[linha + 1][ordem - 1] - tabela[linha][ordem - 1]
        tabela[linha].append(valor)

for x, valores in zip([p[0] for p in pontos], tabela):
    print(x, valores)

Atividade

Determine a tabela de diferenças finita dos pontos:

  • \[ \begin{matrix} \textbf{x} &-1 &0.5 &2 \\ \hline \textbf{y} &-3 &-0.75 &-3 \end{matrix} \]
  • \[ \begin{matrix} \textbf{x} &-1 &0 &1 &2 \\ \hline \textbf{y} &3 &1 &-1 &-15 \end{matrix} \]
  • \[ \begin{matrix} \textbf{x} &0 &0.5 &1 &1.5 &2 \\ \hline \textbf{y} &-2 &-2.5 &-4 &-10.25 &-28 \end{matrix} \]