Encontrando a solução de uma equação

Um problema comum na engenharia é encontrar a raiz de um problema. O processo envolve encontrar um valor de x, tal que aplicado a equação o resultado seja 0, isto é, \(f(x) = 0\).

Definição do intervalo

Para que seja possível encontrar a raiz de uma função \(f\) é necessário definir o intervalo \(\left[a, b \right] \), em que \(f(a)\) tenha sinal oposto a \(f(b)\). Essa condição é necessária, pois caso não seja atendida, podemos chegar a uma conclusão de que não há raiz no intervalo dado, veja os exemplos:

Condição inválida: quando temos A e B, em que o seus valores aplicados a função retornam valores de mesmo sinal:

Definição de valores: \[f(x) = x^{4} - 4x^{2} + 2\] \[Intervalo: \left[-2, -1.9\right] \]

Não há raiz entre \(f(a)\) e \(f(b)\) \[a: -2, f(a) = 2\] \[b: -1.9, f(b) = 0.59\]

Perceba claramente no gráfico acima que não há a passagem por 0 entre \(f(a)\) e \(f(b)\)

Condição válida: quando temos A e B, em que o seus valores aplicados a função retornam valores de sinais opostos:

Definição de valores: \[f(x) = x^{4} - 4x^{2} + 2\] \[Intervalo: \left[-2, -1.5\right] \]

Há raiz entre \(f(a)\) e \(f(b)\) \[a: -2, f(a) = 2\] \[b: -1.5, f(b) = -1.94\]

Dessa fez, perceba que há uma passagem pelo 0 entre \(f(a)\) e \(f(b)\)

Atenção: pode acontecer casos em que os sinais são opostos mas há um número ímpar de raízes no intervalo \(\left[a, b \right] \):

Definição de valores: \[f(x) = x^{4} - 4x^{2} + 2\] \[Intervalo: \left[-2, 1\right] \]

Atende a condição de resultados opostos entre \(f(a)\) e \(f(b)\) \[a: -2, f(a) = 2\] \[b: 1, f(b) = -1\]

Ainda, podem acontecer que mesmo sinais iguais, pode ter raízes, nesse caso, em número par:

Atenção: sinais iguais e número par de raízes:

Definição de valores: \[f(x) = x^{4} - 4x^{2} + 2\] \[Intervalo: \left[-1, 1\right] \]

Não atende a condição de sinais opostos, porém há 2 raízes no intervalo \[a: -1, f(a) = -1\] \[b: 1, f(b) = -1\]

Procure por valores do intervalo \(\left[a, b \right] \) em que tenha apenas uma raíz, essa procura pode ser feita de forma gráfica ou através da análise da situação/problema

Atividade 1

Com ajuda do gráfico abaixo, defina os valores de \(\left[a, b \right] \) em que há apenas uma raiz para a função \(f(x) = 2x^{3} - 3x + 1 \)

Atividade 2

Utilizando o gráfico anterior do Geogebra, defina os limites \(\left[a, b \right] \) para as seguintes funções:

\( f(x) = 4x^{7} - 8x^{3} +2\)
\( f(x) = \frac{2x^{3}-10 }{x^{2}} +1\)
\( f(x) = \frac{2x^{4}}{\cos (x)}-2 \)

Atividade 3

Verifique se o intervalo dado pode ser utilizado para encontrar a solução da equação: \(f(x) = x^{4} - 3x^{3} - 2x^{2} + 5x - 1 \)

\(\textrm{Intervalo: } \left[-1.5, 4 \right] \)
\(\textrm{Intervalo: } \left[-1.5, 0.5 \right] \)
\(\textrm{Intervalo: } \left[-1.5, 0 \right] \)
\(\textrm{Intervalo: } \left[2, 0 \right] \)
\(\textrm{Intervalo: } \left[3.5, 0 \right] \)