Definição

Diferente dos métodos de Interpolação em que busca-se a função \(P_n(x)\) que encontra todos os pontos dados. Os métodos de Aproximação buscam determinar a função \(G(x)\) que pode aproxime a função dos pontos.

As funções \(G(x)\) podem ser:

  • Linear e Polinomial
  • Exponencial
  • Logaritmícas
  • Trigonométricas

Aproximação dos pontos

A forma mais simples de aproximar a função a um conjunto de pontos: \((x_1, y_1), (x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)\) é através da função:

\[y = a_0+a_1x+\epsilon \]

Onde \(a_0 \textrm{ e } a_1\) são os coeficientes que representam a interserção com o eixo \(y\) e a inclinação, respectivamente. O valor \(\epsilon\) é o erro ou resíduo entre o modelo e a observação, o qual pode ser reorganizado conforme expressão:

\[\epsilon = y - a_0 - a_1x \]

Portanto o erro é a discrepância entre o valor verdadeiro de \(y\) e o valor aproximado \(a_0+a_1x\) previsto pela equação linear

Critérios de aproximação

Uma estratégia para melhor aproximar a reta dos pontos dados é minimizando o valor absoluto da soma dos erros para os pontos, dados por:

\[\sum\limits_{i=1}^{n}{\epsilon_i\ } = \sum\limits_{i=1}^{n}{ (y_i - a_0 - a_1x_i) } \]

Porém, podemos destacar que critério é inadequado, pois se um ponto passar acima da reta e outro abaixo os erros se anulam.

Os efeitos dos sinais pode ser removido minimizando a soma dos valores absolutos:

\[\sum\limits_{i=1}^{n}{\left|\epsilon_i\right| } = \sum\limits_{i=1}^{n}{\left|(y_i - a_0 - a_1x_i) \right| } \]

Porém essa forma ainda tem problema, pois teriamos várias retas que minimizariam o erro. Com isso a melhor estratégia é minimizar a soma do quadrados:

\[S_r = \sum\limits_{i=1}^{n}{\epsilon_i^2\ } = \sum\limits_{i=1}^{n}{ (y_i - a_0 - a_1x_i)^2}\]

Esse critério é chamado de Mínimos Quadrados.

Ajuste por Mínimos Quadrados

Para determinar os valores de \(a_0 \textrm{ e } a_1\), a equação é derivada com relação a cada coeficiente desconhecido:

\[ \frac{\delta S_r}{\delta a_0} = -2 \sum{(y_i-a_0-a_1x_i)} \] \[ \frac{\delta S_r}{\delta a_1} = -2 \sum{[(y_i-a_0-a_1x_i)x_i]} \]

Observe que foi o símbolo de somatória (\(\sum \)) foi simplicado, daqui para frente se não for mencionado, todas as somatórias irão de \(i=0\) até \(n\).

Igualando essas derivadas a zero, será obtido um \(S_r\) mínimo. Se isso for feito, as equações podem ser expressas como:

\[ 0 = \sum{y_i} - \sum{a_0} - \sum{a_1x_i} \] \[ 0 = \sum{x_iy_i} - \sum{a_0x_i} - \sum{a_1x_i^2} \]

Agora, percebendo que \(\sum{a_0} = n \times a_0\), podemos expressar essas equações como um conjunto de duas equações lineares simultâneas em duas variáveis (\(a_0 \textrm{ e } a_1\)).

Com isso, podemos obter os valores de (\(a_0 \textrm{ e } a_1\)) resolvendo o sistema Linear:

Ou diretamente através das Equações normais:

Os valores (\(a_0 \textrm{ e } a_1\)) utilizados para construir a função de aproximação:

Para fins de expandir o conceito para a Regressão Polinomial, utilizaremos a resolução por Sistema linear.

Exemplo 1

Dados os pontos

x \( 1\) \( 2.5\) \( 4.5\) \( 5.5\)
y \(2\) \(1.76\) \(1.74\) \(1.58\)

Construímos a tabela dos valores de \(x\):

\(i\) \(x_i\) \(x_i^2\)
  1 \(1\) \(1^2 = 1\)
  2 \(2.5\) \(2.5^2 = 6.25\)
  3 \(4.5\) \(4.5^2 = 20.25\)
  4 \(5.5\) \(5.5^2 = 30.25\)
\(\sum\) \(\color{red}{4}\) \(\color{blue}{13.5}\) \(\color{green}{57.75}\)

E a tabela de valores de \(y\):

\(i\) \(x_i\) \(y_i\) \(x_iy_i\)
  \(1\) \(1\) \(2\) \(1 \times 2 = 2\)
  \(2\) \(2.5\) \(1.76\) \(2.5 \times 1.76 = 4.4\)
  \(3\) \(4.5\) \(1.74\) \(4.5 \times 1.74 = 7.83\)
  \(4\) \(5.5\) \(1.58\) \(5.5 \times 1.58 = 8.69\)
\(\sum\)     \(\color{yellow}{\colorbox{black}{7.08}}\) \(\color{green}{\colorbox{black}{22.92}}\)

Lembrando da matriz do sistema linear de forma genérica:

\[ \left[\begin{matrix} n & \sum{x_i} & \\ \sum{x_i} & \sum{x_i^2} & \\ \end{matrix} \right.\left| \begin{matrix} \sum{y_i} \\ \sum{x_iy_i} \\\end{matrix} \right] \]

Preenchendo a matriz com os valores:

\[ \left[\begin{matrix} \color{red}{4} &\color{blue}{13.5} & \\ \color{blue}{13.5} &\color{green}{57.75} & \\ \end{matrix} \right.\left| \begin{matrix} \color{yellow}{\colorbox{black}{7.08}} \\ \color{green}{\colorbox{black}{22.92}} \\\end{matrix} \right] \]

E resolvendo o sistema, temos:

\[ \left[\begin{matrix} 1 &0 & \\ 0 &1 & \\ \end{matrix} \right.\left| \begin{matrix} 2.04 \\-0.08 \\\end{matrix} \right] \]

Que resulta na nossa função de interpolação:

\[g(x) = -0.08x + 2.04\]

Os pontos e a gráfico da função pode ser visto no gráfico:

Atividade

Dado os pontos, determine a função de aproximação através de Mínimos Quadrados

  • x \( -2\) \( 4\) \( 13\) \( 19\)
    y \(2\) \(-1\) \(-1.6\) \(-2.9\)
  • x \( 3\) \( 9\) \( 13\) \( 21\) \( 31\)
    y \(1\) \(-2\) \(-2.7\) \(-3\) \(-3.2\)
  • x \( -2\) \( 8\) \( 15\) \( 18\) \( 19\) \( 26\) \( 34\)
    y \(2\) \(5.6\) \(2.9\) \(-0.4\) \(2.5\) \(-1.9\) \(6.1\)