Integração

Se uma função \(f(x)\) é contínua em um intervalo \([a, b]\) e sua primitiva \(F(x)\) é conhecida, então a integral definida desta função neste intervalo é dada por:

\[\int_{a}^{b}{f(x)}dx = F(b) - F(a) \]

onde \(F'(x) = f(x)\)

Entretanto, em alguns casos, o valor desta primitiva \(F(x)\) não é conhecida ou de fácil obtenção ou são dados apenas os pontos para se obter o valor da integral, nesses casos, será necessário a utilização de métodos numéricos.

Os métodos de integração numéricos são divididos em dois grupos:

Fórmulas de Newton-Côtes
- Regra dos Trapézios
- Primeira Regra de Simpson
- Segunda Regra de Simpson
Quadratura Gaussiana
- Integração Gaussiana

Obtenção da fórmula de Newton-Côtes

Para a obtenção das fórmulas de Newton-Côtes, é utilizado o polinômio interpolador de Gregory-Newton:

\[P_{n-1}(x) = y_1+ \frac{(z-0)}{1!}\cdot \Delta_{y_1} + \frac{(z-0)(z-1)}{2!}\cdot \Delta^2_{y_1} + \ldots + \frac{(z-0)(z-1)\ldots (z-n)}{n!}\cdot \Delta^n_{y_1} + R_n\]

Onde:

\[z = \frac{x-x_1}{h}\]

\(R_n\) é o resíduo da interpolação:

\[R_n =\frac{(z-0)(z-1)\ldots(z-n)}{(n!)}\cdot h^{n+1}f^{(n+1)}\]

Regra dos Trapézios

Para a determinação da regra dos trapézios, é utilizado o polinômio de Gregory-Newton de 1º Grau, ou seja, uma reta.

Fazendo \(n=1\) e levando a equação tem-se:

\[I = \int_{a}^{b}{f(x)}dx \doteq \int_{a}^{b}{P_1(x)}dx = \int_{a}^{b}{\left[y_1+z\Delta_{y_1}\right] }dx \]

Como:

\[z = \frac{x-x_1}{h}\Rightarrow dx =h\cdot dz\]

Considerando \(a = x_1\) e \(b = x_2\), os intervalos de integração, tem-se para:

\[x = a \Rightarrow z = \frac{x_1-x_1}{h} = 0\] \[x = b \Rightarrow z = \frac{x_2-x_1}{h} = 1\]

Desenvolvendo:

\begin{matrix} I = \int_{a}^{b}{\left[y_1+z\Delta_{y_1}\right] }h\cdot dz = h\left[zy_1+\frac{z^2}{2}\Delta_{y_1}\right]_0^1 =\\ \\ h\left[y_1+ 0.5 \cdot \Delta_{y_1}\right] = h\left[y_1+ 0.5(y_2-y_1)\right] \end{matrix}

Temos:

\[I = \frac{h}{2}(y_1+y_2)\]

Exemplo 1

Calcule o valor da integral definida através da Regra de trapézios e de forma analítica:

\[\int_{-1}^{0.5}{-x^3 + cos(x)}dx\]

De forma gráfica:

Pela regra dos Trápezio

Da equação

\[I = \frac{h}{2}(y_1+y_2)\]

Temos:

\[y_1 = -(-1)^3 + cos(-1) = 1.5403\] \[y_2 = -(0.5)^3 + cos(0.5) = 0.7525\] \[h = x_2-x_1 = 0.5 - (-1) = 1.5\]

Logo:

\[I = \frac{1.5}{2}(1.5403+0.7525) = 1.7196\]

Esse resultado pode ser visto no gráfico:

De forma analítica

\[I = \int_{-1}^{0.5}{-x^3 + cos(x)}dx = F(0.5) - F(-1)\]

Como:

\[F(x) = \frac{-x^4}{4} + sen(x)\]

Temos:

\[F(0.5) = \frac{-(0.5)^4}{4} + sen(0.5) = 0.4638\] \[F(-1) = \frac{-(-1)^4}{4} + sen(-1) = -1.0914\]

Como isso, o resultado exato:

\[I = 0.4638 - (-1.0914) = 1.5552\]

Regra dos Trapézios - Fórmula Composta

Uma forma de se melhorar o resultado é através da divisão do intervalo \([a, b]\) em \(n\) intervalos de amplitude \(h\) e aplicado para cada subintervalo a Regra de trapézios, veja no gráfico:

Assim, o resultado final é a soma da área dos subintervalos:

\[I = \frac{h}{2}(y_1+y_2) + \frac{h}{2}(y_2+y_3)+\cdots+ \frac{h}{2}(y_{n-1}+y_n)\] \[I = \frac{h}{2}((y_1+y_2) + (y_2+y_3) + \cdots + (y_{n-1}+y_n))\]

Resultando:

\[I = \frac{h}{2}(y_1+ 2y_2 + 2y_3 +\cdots+ 2y_{n-1}+y_n)\]

Sendo que:

\[h=\frac{b-a}{n}\]

Exemplo 2

Calcule o valor da integral através da Fórmula composta com \(n=3\):

\[\int_{-1}^{0.5}{-x^3 + cos(x)}dx\]

De forma gráfica:

Vale destacar que conforme pode ser visto no gráfico, teremos \(n-1\) pontos intermediários.

Calculado o valor de \(h\):

\[ h = \frac{b-a}{n} = \frac{0.5 - (-1)}{3} = 0.5\]

Com isso a distribuição dos valores de \(x\) ficam:

\[\begin{matrix} \textbf{x} & -1 & -0.5 & 0 & 0.5 & \end{matrix}\]

E aplicado esses pontos a equação: \(-x^3 + cos(x)\):

\[\begin{matrix} \textbf{x} & -1 & -0.5 & 0 & 0.5 & \\ \hline\textbf{f(x)} & 1.5403 & 1.00258 & 1 & 0.752583 & \end{matrix}\]

Da expressão:

\[I = \frac{h}{2}(y_1+ 2y_2 + 2y_3 + y_4)\]

Temos o desenvolvimento da expressão e o resultado:

\[I = \frac{0.5}{2} \times ( 1.5403 + (2 \times 1.00258) + (2 \times 1) + 0.752583 ) = 1.57451\]

Aplicativo interativo

Utilize o aplicativo a seguir para simular outras condições:

Exemplo 3

Dada a função \( y = f(x)\) através da tabela abaixo, calcule o valor de:

\[i=\int_{-1.5}^{0.5}{f(x)}dx\]

\(i\)	\(f(x)\)
1	3.44574
2	1.7846
3	1.10784
4	0.982336
5	0.994004
6	0.752583

No cálculo de \(h\), lembrando que o números de pontos é igual a \(n = i-1\):

\[h = \frac{b-a}{n} =\frac{0.5-(-1.5)}{5} = 0.4\]

A fórmula genérica:

\[I = \frac{h}{2}(y_1+ 2y_2 + 2y_3 + 2y_4 + 2y_5 + y_6)\]

Desenvolvendo o cálculo:

\[I = \frac{0.4}{2} \times ( 3.44574 + (2 \times 1.7846) + (2 \times 1.10784) + (2 \times 0.982336) + (2 \times 0.994004) + 0.752583 ) = 2.78718\]

Dicas de programação em HP PPL

Criando listas na HP Prime

Para a criação de uma sequência de elementos, podemos utilizar o comandoMAKELIST. A sintaxe do comando é

MAKELIST(expressão, variavel, início, fim, [incremento])

Por exemplo, o comando:

MAKELIST(2*X-1, X, 1, 5, 1)

Irá gerar a lista:

Detalhando, a criação dos elementos da lista:

\[\{\overbrace{1}^{2\times \color{red}{1}\color{black} -1}, \overbrace{3}^{2\times\color{red}{2}\color{black}-1}, \overbrace{5}^{2\times\color{red}{3}\color{black}-1}, \overbrace{7}^{2\times\color{red}{4}\color{black}-1}, \overbrace{9}^{2\times\color{red}{5}\color{black}-1}\} \]

Perceba que os valores em vermelho, representa o valor de \(X\), indo de 1 a 5, com passo 1

Outra forma de se utilizar o comando MAKELIST pode ser visto a seguir:

Em linha de comando seria:

MAKELIST(PIECEWISE(even(X),4,odd(X),2),X,1,8,1)

O comando Funções definidas em trechos (PIECEWISE) pode ser obtido através dos seguintes passos:

Explicando:

\[\{\overbrace{2}^{\color{red}{1}\color{black}}, \overbrace{4}^{\color{blue}{2}}, \overbrace{2}^{\color{red}{3}}, \overbrace{4}^{\color{blue}{4}}, \overbrace{2}^{\color{red}{5}}, \overbrace{4}^{\color{blue}{6}}, \overbrace{2}^{\color{red}{7}}, \overbrace{4}^{\color{blue}{8}}\} \]

Perceba que os valores em vermelho são ímpares e os marcados em azul são pares

Atividade

Utilizando a regra dos Trapézios compostos, calcule o valor da integral com a quantidade de pontos definidos.

\[ \int_{-4.5}^{-2}{-\sqrt{x / cos(x)} + 5}dx \]
Com \(n = 2\)
\[ \int_{-4.5}^{-2}{-\sqrt{x / cos(x)} + 5}dx \]
Com \(n = 4\)
\[ \int_{-4.5}^{-2}{-\sqrt{x / cos(x)} + 5}dx \]
Com \(n = 8\)