Introdução

Outra maneira para resolver o PVI é através de passo múltiplo se a aproximação \(y_{i+1}\) depende, para seu cálculo de \(k\) resultados anteriores:

Diz-se que \(k\) é o passo do método. Os métodos de Adams constituem uma subclasse dos métodos de passo múltiplo, sendo também dos mais populares. Para isso, observe que por definição uma solução exata da equação diferencial satisfaz a identidade:

Para quais pontos \(x\) e \(x+q\) no intervalo \([a, b]\). Os métodos a serem discutidos baseiam-se em substituir a função \(f(x, y(x))\), que é desconhecida. Por um polinômio interpolador, que assuma os valores \(f_i=f(x_i, y_i)\) num conjunto de pontos \(x_i\), onde \(y_i\) ou já foi obtido ou está sendo computado, calculando-se a integral e aceitando-se seu valor como o incremento do valor aproximado \(y_i\) entre \(x\) e \(x+q\). Vamos supor que os pontos de interpolação sejam \(x_i, x_{i-1}, \cdots, x_{i-k+1}\), então, por exemplo:

Método de Adams-Bashforth de Passo Dois

A ideia por trás da obtenção dos métodos de passo dois é a seguinte: supõe-se que se tenha calculado \(y_1\), por um método de passo simples; assim os valores \(f_1 = f(x_1, y_1)\) e \(f_0 = f(x_0, y_0)\) ficam disponíveis. Assim é possível aproximar \(f(x, y(x))\) pelo polinômio de 1º grau \(P_1(x)\) dado por:

O polinômio P_1(x) satisfaz

Fazendo \(x = x_1 + hz\):

Substituindo a Equação 2 na Equação 1, tem-se:

Para \(j=1\) e \(f(x, y) \doteq P_1(x)\):

Tem-se \(dx = hdz\) e, para \(x = x_1\), \(z=0\) e para \(x=x_2\), \(z=1\). Fazendo a mudança de variável de integração em:

Integrando, chega-se a:

De modo geral:

Esse método é chamado de Adams-Bashforth de passo dois.

Método de Adams-Bashforth de Passo Três

A ideia é aproximar \(f(x, y)\) por um polinômio interpolador de 2º Grau, que satisfaz:

Onde:

Desenvolvendo a fórmula e integrando os valores temos:

De modo Geral:

Método de Adams-Bashforth de Passo Quatro

E seguindo a analogia dos métodos anteriores, a ideia é aproximar \(f(x, y)\) por um polinômio interpolador de 3º Grau, que satisfaz:

Onde:

De modo Geral:

Exemplo 1

Dada a PVI:

Na malha \([0, 2]\) com \(h=0.2\), como não conseguimos aplicar diretamente o Método de Adams-Bashforth para o cálculo de \(y_1\), iremos começar o processo com o método de RK4, depois passamos para o método de Adams-Bashforth de passo 2, 3 e 4:

Exemplo 2

Dada a PVI:

Na malha \([0, 1]\) com \(h=0.1\), começando calculando os valores de \(y_1, y_2 \textrm{ e } y_3\) pelo método de RK4 depois passamos para o método de Adams-Bashforth de passo 4:

Resolvendo EDOs na HP Prime:

A resolução de EDO na calculadora HP Prime é feita através do comando:

odesolve(Expr,VectVar,VectInitCond,FinalVal,[tstep=Val,curve])

Onde:Expr e a função da EDO, VectVar é o vetor com os nomes das variáveis da função, VectInitCond o vetor com os valores iniciais da variáveis, FinalVal o valor final que se deseja calcular.

Os parâmetros opcionais tstep=Val pode ser utilizado para especificar o passo, mas nem sempre o comando odesolve respeita esse valor, enquanto curve apresenta uma lista com os valores parciais da resolução.

Veja alguns exemplos de uso:

Iremos resolver o seguinte PVI:

Na malha \([0, 2]\) com \(h=0.2\)

Na calculadora HP Prime:

odesolve(2x - y + 1, [x, y], [0, 1], 2)

Resultado:

Podemos interpretar o resultado da seguinte forma: valor de \(y = 3.27067056647\)

Outras formas que pode ser utilizadas o comando odesolve

Criando uma função e depois utilizado no comando odesolve:

f(x, y):= 2x - y + 1
odesolve(f(x, y), [x, y], [0, 1], 2)

Mudando a forma de entrada das variáveis:

f(x, y):= 2x - y + 1
odesolve(f(x, y),x=0..2, y, 1)

Mudando a ordem das variáveis:

f(x, y):= 2x - y + 1
odesolve(0..2, f, 1)

Atividade

Calcule o valor das EDOs a seguir através dos métodos solicitados

• PVI:

  \[\begin{cases} y' = x - 3y^2\\ y(0) = 1\\ \end{cases} \]

  Na malha \([0, 1]\) com \(h=0.2\)

  Utilize o método RK2 para calcular o primeiro valor e \(y\) e depois para o método de Adams-Bashforth de passo 2

• PVI:

  \[\begin{cases} y' = x - y^3 - 3\\ y(0) = 1\\ \end{cases} \]

  Na malha \([1, 5]\) com \(h=0.5\)

  Utilize o método RK4 para calcular o primeiro valor e \(y\), Adams-Bashforth de passo 2 para \(y_2\), Adams-Bashforth de passo 3 para \(y_3\) e depois passe para o método de Adams-Bashforth de passo 4

• PVI:

  \[\begin{cases} y' = sen(\frac{x^2}{y})\\ y(0) = 1\\ \end{cases} \]

  Na malha \([0, 10]\) com \(h=1\)

  Utilize o método RK4 para calcular o primeiro valor e \(y\) e depois utilize o método de Adams-Bashforth de passo 4