Obtenção da Fórmula

De forma analóga a segunda regra de Simpson é obtida aproximando-se a função \(f(x)\) por um polinômio interpolador de 3º Grau:

\[f(x) \doteq P_3(x) = y_1 +z \Delta_{y_1} + \frac{(z)(z-1)}{2!}\cdot \Delta^2_{y_1} + \frac{(z)(z-1)(z-2)}{3!}\cdot \Delta^3_{y_1}\]

Logo:

\[I = h\left[zy_1 + \frac{z^2}{2}\Delta_{y_1} + \left(\frac{z^3}{6} - \frac{z^2}{4} \right) \Delta^2_{y_1} + \left(\frac{z^4}{24} - \frac{z^3}{6} + \frac{z^2}{4} \right) \Delta^3_{y_1} \right]^3_0 \]

Resultando:

Fórmula Composta

Subdividindo o intervalo \([a, b]\) em \(n\) subintervalos:

Aplicando para os subintervalos:

\[I=\frac{3h}{8}\underbrace{(y_1+3y_2+3y_3+y_4)}_{\textrm{1º subintervalo}}+ \frac{3h}{8}\underbrace{(y_4+3y_5+3y_6+y7)}_{\textrm{2º subintervalo}} + \cdots + \frac{3h}{8}\underbrace{(y_{n-3} + 3y_{n-2}+3y_{n-1}+y_n)}_{\textrm{nº subintervalo}}\]

Para a segunda de regra de Simpson o número \(n\) deverá ser múltiplo de 3

Em evidência:

Exemplo 1

Calcule o valor da integral definida através da 2ª Regra de Simpson com \(n=3\):

\[\ \int^{0.5}_{-0.8}{\frac{x^3}{-\sqrt{cos(2x) - sin(3x^3)}} + 1}dx\]

De forma gráfica:

Integral

Inicialmente, calculamos a altura dos pontos:

\[h=\frac{0.5 - (-0.8)}{3} = 0.433333\]

Os valores de \(y_i\)

\(i\) \(x\) \(y\)
1 -0.8 1.5198
2 -0.366667 1.05225
3 0.0666667 0.999702
4 0.5 0.700361

A expressão genérica para a quantidade \(n\) de elementos:

\[I = \frac{3h}{8}(y_1+3y_2+3y_3+y_4)\]

E o cálculo:

\[I = 0.1625 \times ( 1.5198 + (3 \times 1.05225) + (3 \times 0.999702) + 0.700361 ) = 1.3611\]

Esse resultado pode ser visto no gráfico:

Integral

Exemplo 2

Iremos calcular a mesma integral do exemplo anterior, porém com \(n=9\):

\[\ \int^{0.5}_{-0.8}{\frac{x^3}{-\sqrt{cos(2x) - sin(3x^3)}} + 1}dx\]

A altura dos pontos:

\[h=\frac{0.5 - (-0.8)}{9} = 0.144444\]

Os valores de \(y_i\)

\(i\) \(x\) \(y\)
1 -0.8 1.5198
2 -0.655556 1.28104
3 -0.511111 1.13986
4 -0.366667 1.05225
5 -0.222222 1.01134
6 -0.0777778 1.00047
7 0.0666667 0.999702
8 0.211111 0.989993
9 0.355556 0.943061
10 0.5 0.700361

A expressão genérica para \(n = 9\):

\[I = \frac{3h}{8}(y_1+3y_2+3y_3+2y_4+3y_5+3y_6+2y_7+ 3y_8+3y_9+ y_{10})\]

O cálculo:

\[I = \frac{3 \times 0.144444}{8}\times ( 1.5198 + (3 \times 1.28104) + (3 \times 1.13986) + (2 \times 1.05225) + \] \[ (3 \times 1.01134) + (3 \times 1.00047) + (2 \times 0.999702) + \] \[(3 \times 0.989993) + (3 \times 0.943061) + 0.700361 ) = 1.37699\]

E o gráfico:

Integral

Aplicativo interativo:

Utilize o aplicativo a seguir para simular outros casos:

Dicas de programação em HP PPL

Produto escalar

Uma estratégia para implementar os métodos de Trapézio e de Simpsons é através do produto escalar

Em algébra, dados os vetores \(A=(a_1, a_2, \cdots, a_n)\) e \(B=(b_1, b_2, \cdots, b_n)\) de mesmo tamanhos, o Produto Escalar é dado por:

\[A\cdot B = \sum\limits_{i=1}^{n}{a_ib_i} = a_1b_1 + a_2b_2+\cdots+a_nb_n\]

Por exemplo, dado os vetores \(A=(1, 2, 3, 4)\) e \(B=(3, 4, 5, 6)\), o produto escalar desses vetores é:

\[A\cdot B = \sum\limits_{i=1}^{n}{a_ib_i} = (1\times3) + (2\times4) + (3\times5) + (4\times6) = 50 \]

Na calculadora HP, isso pode ser implementado pelo comando DOT:

L1:={1,2,3,4};
L2:={3,4,5,6};
DOT(L1,L2);

Resultando:

Produto escalar

Se for utilizado o comando DOT no modo de programação é necessário utilizar o CAS: 

EXPORT comandoDOT()
BEGIN
    PRINT();
    L1:={1,2,3,4};
    L2:={3,4,5,6};
    LOCAL res := CAS.DOT(L1,L2);

    PRINT(res);
END;

Atividade

Utilizando a 2ª regra de Simpson, calcule o valor da integral com a quantidade de pontos definidos.

  • \[ \int_{-1.5}^{0.5}{\frac{e^{x^3}}{-cos(x)}+2}dx \]

    Com \(n = 3\)

  • \[ \int_{-1.5}^{0.5}{\frac{e^{x^3}}{-cos(x)}+2}dx \]

    Com \(n = 6\)

  • \[ \int_{-1.5}^{0.5}{\frac{e^{x^3}}{-cos(x)}+2}dx \]

    Com \(n = 12\)