Método de Gregory-Newton - Fórmula
Teorema: Seja a função \(y = f(x)\) definida pelos pontos \((x_i, y_i), i = 1, 2, 3 \ldots, n\) tais que \(x_{i+1} - x_i = h\) para todo \(i\):
\[\triangledown^n_{yi} = \frac{\Delta^n_{y_i}}{n! h^n} \]Por indução, para \(n=1\) o Teorema é válido, pois:
\[\triangledown_{y_i} =\frac{y_{i+1} - y_i}{x_{i+1} - y_i} = \frac{\Delta_{y_i}}{h} = \frac{\Delta^1_{y_i}}{1! h^1} \]Supondo-se que ele sejá válido para \(n = p -1\):
\[\triangledown^{p-1}_{y_i} = \frac{\Delta^{p-1}_{y_i}}{(p-1)! h^{(p-1)}} \]Pode-se provar que ele é válido para \(n = p\):
\[\triangledown^{p}_{y_i} = \frac{\triangledown^{p-1}_{y_{i+1}}-\triangledown^{p-1}_{y_{i+1}}}{x_{i+p} - x_i}\]Mas
\[\triangledown^{p-1}_{y_{i+1}} = \frac{\Delta^{p-1}_{y_{i+1}}}{(p-1)! h^{(p-1)}} \textrm{ e}\] \[\triangledown^{p-1}_{y_{i}} = \frac{\Delta^{p-1}_{y_{i}}}{(p-1)! h^{(p-1)}} \textrm{ e}\] \[x_{i+p} - x_i = ph\]Então:
\[\triangledown^{p}_{y_{i}} = \frac {\left[ \frac{\Delta^{p-1}_{y_{i+1}}}{(p-1)! h^{(p-1)}} \right] - \left[ \frac{\Delta^{p-1}_{y_{i}}}{(p-1)! h^{(p-1)}} \right]} {ph} \]Levando o resultado do teorema na fórmula vem:
\[P_{n-1}(x) = y_1 + h(z-0)\cdot \frac{\Delta_{y_1}}{1!h} + h^2(z-0)(z-1)\cdot \frac{\Delta^2_{y_1}}{2!h^2} + \ldots + h^n(z-0)(z-1)\ldots(z - n)\cdot \frac{\Delta^n_{y_1}}{n!h^n}\]Ou:
\[P_{n-1}(x) = y_1+ \frac{(z-0)}{1!}\cdot \Delta_{y_1} + \frac{(z-0)(z-1)}{2!}\cdot \Delta^2_{y_1} + \ldots + \frac{(z-0)(z-1)\ldots (z-n)}{n!}\cdot \Delta^n_{y_1}\]De forma sintética:
\[P_{n-1}(x) = y_1+\sum\limits_{i=1}^{n}{ \Delta^i_{y_1}
\frac{\prod \limits_{j=0}^{i-1}{z-j}}{i!}}\]
Lembrando que:
\[z = \frac{x-x_1}{h}\]e:
\[h = x_2 - x_1 \]Exemplo de cálculo 1:
Dados os pontos:
| x | \( 2\) | \( 3\) | \( 4\) |
|---|---|---|---|
| y | \(8\) | \(19\) | \(34\) |
E a tabela de diferenças finitas:
| \(x\) | \(f(x)\) | \(\Delta^1_{y_i}\) | \(\Delta^2_{y_i}\) |
|---|---|---|---|
| \(2\) | \(8\) | \(11\) | \(4\) |
| \(3\) | \(19\) | \(15\) | |
| \(4\) | \(34\) |
Valor de \(h= 3 - 2 = 1\)
O valor de \(z\) é: \(z=\frac{x - 2}{1}\)
Desenvolvendo o cálculo:
\[P_2(x) = 8 + \left(11 \times \frac{ \left( \frac{x - 2}{1}- 0 \right) }{1!}\right) + \left(4 \times \frac{ \left( \frac{x - 2}{1}- 0 \right) \left( \frac{x - 2}{1}- 1 \right) }{2!}\right)\] \[P_2(x) = 8 + \left(11 \times \frac{x - 2}{1!}\right) + \left(4 \times \frac{x^2 - 5x + 6}{2!}\right) \] \[ P_2(x) = 8 + \left( (11x - 22)\right) + \left( (2x^2 - 10x + 12)\right)\]Resultando no polinômio:
\[P_2(x) = 2x^2 + x - 2\]Exemplo de cálculo 2:
Os pontos:
| x | \( 1\) | \( 1.5\) | \( 2\) | \( 2.5\) | \( 3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| y | \(2\) | \(7.5625\) | \(21\) | \(47.5625\) | \(94\) |
A tabela de diferenças finitas:
| \(x\) | \(f(x)\) | \(\Delta^1_{y_i}\) | \(\Delta^2_{y_i}\) | \(\Delta^3_{y_i}\) | \(\Delta^4_{y_i}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(2\) | \(5.5625\) | \(7.875\) | \(5.25\) | \(1.5\) |
| \(1.5\) | \(7.5625\) | \(13.4375\) | \(13.125\) | \(6.75\) | |
| \(2\) | \(21\) | \(26.5625\) | \(19.875\) | ||
| \(2.5\) | \(47.5625\) | \(46.4375\) | |||
| \(3\) | \(94\) |
Valores:
\[h= 1.5 - 1= 0.5\] \[z=\frac{x - 1}{0.5}\]E o desenvolvimento do cálculo:
\[ \begin{matrix}P_4(x) = 2 + \left(5.5625 \times \frac{ \left( \frac{x - 1}{0.5}- 0 \right) }{1!}\right)\\ + \left(7.875 \times \frac{ \left( \frac{x - 1}{0.5}- 0 \right) \left( \frac{x - 1}{0.5}- 1 \right) }{2!}\right) \\ + \left(5.25 \times \frac{ \left( \frac{x - 1}{0.5}- 0 \right) \left( \frac{x - 1}{0.5}- 1 \right) \left( \frac{x - 1}{0.5}- 2 \right) }{3!}\right)\\ + \left(1.5 \times \frac{ \left( \frac{x - 1}{0.5}- 0 \right) \left( \frac{x - 1}{0.5}- 1 \right) \left( \frac{x - 1}{0.5}- 2 \right) \left( \frac{x - 1}{0.5}- 3 \right) }{4!}\right)\end{matrix} \]ainda...
\[\begin{matrix} P_4(x) = 2 + \left(5.5625 \times \frac{2x - 2}{1!}\right)\\ + \left(7.875 \times \frac{4x^2 - 10x + 6}{2!}\right)\\ + \left(5.25 \times \frac{8x^3 - 36x^2 + 52x - 24}{3!}\right)\\ + \left(1.5 \times \frac{16x^4 - 112x^3 + 284x^2 - 308x + 120}{4!}\right) \end{matrix} \]e...
\[ \begin{matrix}P_4(x) = 2 + \left( (11.125x - 11.125)\right)\\ + \left( (31.5x^2 - 78.75x + 47.25)\right)\\ + \left( (42x^3 - 189x^2 + 273x - 126)\right)\\ + \left( (24x^4 - 168x^3 + 426x^2 - 462x + 180)\right) \end{matrix}\]Resultando no polinômio:
\[P_4(x) = x^4 + 2x^2 - 2x + 1 \]Dica de programação
Para se programar o método de Gregory-Newton, pode utilizar a variável \(z\) no modo CAS, o que irá facilitar a implementação do método:
EXPORT gregoryNewton()
BEGIN
PRINT();
M1 :=[[1, 1.5, 2, 2.5, 3],
[2, 7.5625, 21, 47.5625, 94]]; // Dados do exemplo de cálculo 2
LOCAL h := M1(1, 2) - M1(1, 1);
LOCAL z := (CAS("x") - M1(1, 1))/h;
PRINT("h = " + h);
PRINT("z = " + z);
END;
Atividade
Dado os pontos e as tabelas de diferença finitas, calcule o polinômio interpolador das questões abaixo:
-
Pontos:
\[ \begin{matrix} \textbf{x} &2 &4 &6 \\ \hline \textbf{y} &-8 &-22 &-44 \end{matrix} \]Tabela de diferenças divididas:
\[ \begin{matrix} \textbf{x} & \textbf{y} & \Delta^1_{y_i} & \Delta^2_{y_i} \\ \hline 2 & -8 & -14 & -8 \\ 4 & -22 & -22 \\ 6 & -44 \end{matrix} \] -
Pontos:
\[ \begin{matrix} \textbf{x} &0 &1 &2 &3 \\ \hline \textbf{y} &-2 &-2 &-4 &-14 \end{matrix} \]Tabela de diferenças divididas:
\[ \begin{matrix} \textbf{x} & \textbf{y} & \Delta^1_{y_i} & \Delta^2_{y_i} & \Delta^3_{y_i} \\ \hline 0 & -2 & 0 & -2 & -6 \\ 1 & -2 & -2 & -8 \\ 2 & -4 & -10 \\ 3 & -14 \end{matrix} \] -
Pontos:
\[ \begin{matrix} \textbf{x} &0 &1.5 &3 &4.5 &6 \\ \hline \textbf{y} &-1 &-2.3125 &38 &281.938 &1013 \end{matrix} \]Tabela de diferenças divididas:
\[ \begin{matrix} \textbf{x} & \textbf{y} & \Delta^1_{y_i} & \Delta^2_{y_i} & \Delta^3_{y_i} & \Delta^4_{y_i} \\ \hline 0 & -1 & -1.3125 & 41.625 & 162 & 121.5 \\ 1.5 & -2.3125 & 40.3125 & 203.625 & 283.5 \\ 3 & 38 & 243.938 & 487.125 \\ 4.5 & 281.938 & 731.062 \\ 6 & 1013 \end{matrix} \]