Definição de sistemas lineares
Um sistemas linear tem a forma:
\[\begin{matrix} A_{11}x_{1} + A_{12}x_{2} + \ldots + A_{1n}x_{n} = b_{1} \\ A_{21}x_{2} + A_{22}x_{2} + \ldots + A_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \vdots \\ A_{m1}x_{1} + A_{m2}x_{2} + \ldots + A_{mn}x_{n} = b_{m} \end{matrix} \]Onde os coeficientes \(A_{ij}\) e as constantes \(b_{i}\) são conhecidas, o \(x_{j}\) representa o valor a ser encontrado.
Na notação de matriz, as equações podem ser reescritas na forma:
\[\begin{bmatrix} A_{11}& A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21}& A_{22} &\ldots & A_{2n} \\ \vdots& \vdots & \ldots & \vdots \\ A_{m1}& A_{m2} & \ldots & A_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\x_{n} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\b_{m} \\ \end{bmatrix}\]Ou simplesmente:
\[ Ax = b\]Uma representação particular útil para ser utilizada em computadores é a matriz de coeficientes aumentada, obtida pela junção da matriz de constantes \(b\) a matriz de coeficientes \(A\) com a seguinte aparência:
\[ \left[ A \right. \left| b \right] = \left[ \begin{matrix} A_{11}& A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21}& A_{22} &\ldots & A_{2n} \\ \vdots& \vdots & \ldots & \vdots \\ A_{m1}& A_{m2} & \ldots & A_{mn} \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} b_{1} \\b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{matrix} \right] \]Métodos de resolução de Sistemas lineares
Há duas classes de métodos de resolução de sistemas lineares: Diretos e Iterativos
A característica dos Métodos Diretos é que eles transformam as equações lineares originais em equações equivalentes. Para isso são utilizadas 3 operações elementares, que não alteram a solução, mas elas alteram a determinante dos coeficientes da matriz:
- Troca da posição de duas linhas
- Multiplicação de uma equação por um constante diferente de zero
- Multiplicação de uma equação por um constante diferente de zero e subtração por outro linha de equação
Métodos Iterativo, ou Indiretos, começam com um valor estipulado para a solução \(x\), e repetidamente redefine a solução até que certo critério de parada é alcançado. Métodos Iterativos são geralmente menos eficientes comparados com o Métodos Diretos, devido ao grande número de iterações requeridas. Mas eles tem vantagem computacionais se a matriz de coeficientes é muito grande ou a matriz é esparsa (muitos coeficientes iguais a 0)
Métodos Diretos
Três métodos populares para a resolução direta de sistemas lineares são:
| Método | Forma inicial | Forma final |
|---|---|---|
| Gauss | \(Ax=b\) | \(Ux=c\) |
| Gauss-Jordan | \(Ax=b\) | \(Ix=c\) |
| Decomposição LU | \(Ax=b\) | \(LUx=b\) |
Onde:
- \(U\): representa uma matriz triangular superior. Por exemplo uma matriz triangular superior de 3x3 ficaria da seguinte forma: \(U = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33}\end{bmatrix} \)
- \(L\): matriz triangular inferior. Exemplo para uma matriz 3x3: \(L = \begin{bmatrix} a_{11} & 0& 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{13} &a_{23} & a_{33}\end{bmatrix} \)
- \(I\): matriz identidade. No exemplo de uma matriz 3x3: \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0& 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1\end{bmatrix} \)
Devido ao contexto da disciplina, serão abordados apenas os Métodos de Gauss e Gauss-Jordan.
Métodos Iterativos
Métodos Iterativos ou Método indiretos buscam minimizar a solução do sistema linear através de repetidas melhorias na solução dada a partir de um valor de chute inicial das variáveis \(x\).
Geralmente o número de repetição pode ser maior do que se for aplicar os métodos diretos, contudo é vantajoso aplicar os Métodos Iterativos para resolver certos tipos de problemas:
- Matrizes muito grande com valores esparços, mas não necessariamente em forma de banda
- Métodos iterativos produzem auto-correção, significando que erros de arrendondamento (ou mesmos erros de matemáticos) num ciclo, possam ser corrigidos no próximo
Nas próximas páginas iremos apresentar os Métodos Iterativos de Gauss-Seidel e Jacobi