Método de Cordas
Seja \(f(x)\) uma função contínua que tenha derivada segunda com sinal constante no intervalo \(\left[a, b \right] \), sendo \(f(a) \cdot f(b) \lt 0 \) e que existe uma única raiz \(\varepsilon \in \left[a, b \right] \) tal que \(f(\varepsilon) = 0 \).
No método de cordas, ao invés de se dividir o intervalo \(\left[a, b \right] \) ao meio, como no método de bisseção, ele é dividido em partes proporcionais à razão \({f(a)}/{f(b)}\) ou seja: \[\frac{h_{1}}{b-a} = \frac{-f(a)}{-f(a)+f(b)}\] Isto conduz a um valor aproximado da raiz: \[p_{1} = a - \frac{f(a)}{f(b)-f(a)} (b - a)\]
Ao se aplicar esse procedimento ao novo intervalo que contém \(\varepsilon \in (\left[a, p_{1} \right] \textrm{ou} \left[p_{1}, b \right]) \) obtém-se uma nova aproximaçao \(p_{2}\) da raiz.
Exemplo 1
Considere os valores dados, encontre o zero da função com \(\left|\epsilon\right| < 0.001 \) (perceba que o erro é menor que nos exemplos de bisseção)
\[\textrm{Função: } f(x) = x^{3}-10\] \[\textrm{Limites: }\left[2 , 2.3 \right] \]
Visualização dos limites:
| Iteração | \(a_{i}\) | \(b_{i}\) | \(f(a_{i})\) | \(f(b_{i})\) | \(p_{i}\) | \(f(p_{i})\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2.3 | -2 | 2.167 | \(\small{2 - \frac{-2}{2.167-(-2)} (2.3 - 2) = 2.14399}\) | -0.14474 |
| 2 | 2.14399 | 2.3 | -0.14474 | 2.167 | \(\small{2.14399 - \frac{-0.14474}{2.167-(-0.14474)} (2.3 - 2.14399) = 2.15376}\) | -0.00939 |
| 3 | 2.15376 | 2.3 | -0.00939 | 2.167 | \(\small{2.15376 - \frac{-0.00939}{2.167-(-0.00939)} (2.3 - 2.15376) = 2.15439}\) | -0.00062 |
Resultado: \(f(2.15439) = -0.00062\) que é menor que nosso valor de erro (\(\left|\epsilon\right| < 0.001 \)), portanto:
\[x = 2.15439\]
Exemplo 2
Considere os valores dados, encontre o zero da função com \(\left|\epsilon\right| < 0.001 \)
\[\textrm{Função: } f(x) = 2x^{3} - 2x - cos(x^{3}) - 1\] \[\textrm{Limites: }\left[1.1 ,1.3\right] \]
Visualização dos limites:
| Iteração | \(a_{i}\) | \(b_{i}\) | \(f(a_{i})\) | \(f(b_{i})\) | \(p_{i}\) | \(f(p_{i})\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.1 | 1.3 | -0.7755 | 1.38007 | \(\small{1.1 - \frac{-0.7755}{1.38007-(-0.7755)} (1.3 - 1.1) = 1.171953}\) | -0.08577 |
| 2 | 1.171953 | 1.3 | -0.08577 | 1.38007 | \(\small{1.171953 - \frac{-0.08577}{1.38007-(-0.08577)} (1.3 - 1.171953) = 1.17945}\) | -0.00755 |
| 3 | 1.17945 | 1.3 | -0.00755 | 1.38007 | \(\small{1.17945 - \frac{-0.00755}{1.38007-(-0.00755)} (1.3 - 1.17945) = 1.18011}\) | -0.00061 |
Resultado: \(f(1.18011) = -0.00061\) que é menor que nosso valor de erro (\(\left|\epsilon\right| < 0.001 \)), portanto:
\[x = 1.18011\]
Atividade 1
Utilizando o método de cordas, encontre a raiz para as funções e limites dados abaixo:
- \(\textrm{Função: } f(x) = 4x^{7} - 8x^{3} +2\) \(\textrm{, Limites: }\left[1 ,1.2\right] \)
- \(\textrm{Função: } f(x) = \frac{2x^{3}-10 }{x^{2}} +1\) \(\textrm{, Limites: }\left[1.9 ,1.3\right] \)
- \(\textrm{Função: } f(x) = \frac{2x^{4}}{\cos (x)}-2 \) \(\textrm{, Limites: }\left[0.5 ,1\right] \)