Introdução

Equações Diferenciais Ordinárias - EDO - ocorrem com muita frequência na descrição de fenômenos da natureza. Um exemplo é o crescimento da população de bactérias numa colônia. Pode-se supor que sob condições ambientais favoráveis, a taxa de crescimento da colônia seja proporcional ao número de indivíduos num dado tempo: se \(y(t)\) for o número de indíviduos no tempo \(t\), tem-se a equação \(y(t)=ky(t)\).

Problema de Valor Inicial

Do Cálculo se conhece a forma com que se apresenta uma equação diferencial ordinária de orden \(n\):

Onde:

Exemplo 1

\(y^{(2)}= 3y^{(1)} - 2y \) é uma EDO de ordem 2 com \(f(x, y, y') = 3y^{(1)} - 2y\)

Associadas com a equação \(y^{(n)}=f(x, y, y', y^{(2)}, \cdots, y^{(n-1)})\) podem existir condições cujo número coincide com a ordem da EDO. Se tais condições se referem a um único valor de \(x\), tem-se um problema de valor inicial - PVI, caso contrário, tem-se um problema de valor de contorno.

Exemplo 2

É um PVI de 2ª ordem.

PVI de 1ª ordem.

Serão tratados aqui métodos numéricos para se conseguir os valores de \(y(x)\) em pontos distintos daqueles das condições iniciais associadas aos PVIs. O tipo de PVI que será objeto dessa parte é o de primeira ordem no formato:

São condições para que um PVI de 1ª ordem tenha um única solução, se a função \(f(x,y)\):

• É definida e contínua na faixa \(a\leq x\leq b\), \(-\infty \lt y \lt \infty\), onde \(a\) e \(b\) são finitos

• Sendo que existe uma constante \(L\) tal que para todo \(x \in [a, b]\) e todo par de números \(y\) e \(y^*\) atende a condição de Lipschitz:

  \[\left|f(x,y) - f(x, y^*)\right| \leq L \left|y - y^* \right| \]

Então existe exatamente uma função \(y(x)\) satisfazendo:

• \(y(x)\) é contínua e diferenciável para \(x \in [a, b]\);

• \(y'(x) = f(x, y(x)), x \in [a, b] \)

• \(y(a) = \eta, \eta \textrm{ é um número dado} \)

Solução numérica de um PVI de 1ª Ordem

Supondo que o PVI satisfaça as condições de existência e unicidade, iremos agora tratar da solução numérica. Para isso, tomamos \(n\) subintervalos

Subdividindo o intervalo \([a, b]\) em \(n\) subintervalos de \([a, b]\), \(m \geq 1\) e fazendo \(x_j = x_0 + jh\) onde \(h=\frac{b-a}{n}, j= 0, 1, 2, \cdots, n, x_j \in [a, b]\).

O conjunto \(I_h= \{x_0,x_1, \cdots, x_n\}\) denomina-se rede ou de malha de \([a, b]\). A solução numérica \(y_{m}(x)\) é a função linear por partes cujo gráfico é um poligonal com vértices nos pontos \((x_j, y_j)\), onde \(y_j\) foi calculado usando-se alguns dos métodos numéricos dados a seguir.

Método de Euler

Seja o PVI:

Deseja-se calcular aproximações \(y_1,y_2, \cdots, y_m \) para as soluções exatas \(y(x_1), y(x_2), \cdots, y(x_n)\)

Como se desconhece o valor de \(y(x_1)\), toma-se \(y_1\) como aproximação para \(y(x_1)\). Para isso, traça-se a tangente \(T\) à curva \(y(x)\) no ponto \((x_0, y(x_0))\), cuja equação é:

Fazendo \(x=x_1\) e lembrando que \(y(x_0) = y_0\), \(h = x_1-x_0 \), \(y'(x_0) = f(x_0, y(x_0))\) e \(y_1 \doteq y(x_1)\) tem-se:

Assim, o método de Euler consiste em calcular recursivamente a sequência \(\{y_i\}\) através das fórmulas:

Exemplo 1

Dada o PVI:

Na malha \([0, 2]\) com \(h=0.2\) utilizando o método de Euler.

Começamos calculando a quantidade de iterações:

E o desenvolvimento de cada cálculo

Resultando no valor final: \(3.21475\), enquanto o resultado exato seria: \(3.27067067\)

Exemplo 2

Dada o PVI:

Na malha \([0.2, 2]\) com \(h=0.2\) utilizando o método de Euler.

Começamos calculando a quantidade de iterações:

E o cálculo

Resultado Calculado: \(1.0768\)

Dicas de programação em HP PPL

Você pode facilitar o cálculo de funções das PVIs através da utilização de funções inline na HP Prime.

por exemplo, com a PVI do exemplo 1:

A função \( y' = 2x - y + 1\) pode ser inserida na HP como:

f(x,y):=2x-y+1

Para utilizar essa função:

f(0.2,1)

Ainda podemos estender esse procedimento para a função do método de Euler: \(y_{i+1} = y_i + hf(x_i, y_i)\):

f(x,y,h):= y + h*(2x - y + 1)

E aplicando os valores:

f(0.2, 1, 0.2)
f(0.4, 1.08, 0.2)

Atividade

Calcule o valor das EDOs a seguir através do método de Euler:

• PVI:

  \[\begin{cases} y' = sin(x + 2y)\\ y(0) = 1\\ \end{cases} \]

  Na malha \([1, 10]\) com \(h=1\)

• PVI:

  \[\begin{cases} y' = ln(x) - 2y\\ y(0) = 1\\ \end{cases} \]

  Na malha \([0.2, 2]\) com \(h=0.2\)

• PVI:

  \[\begin{cases} y' = cos(x) - y + 1\\ y(0) = 0\\ \end{cases} \]

  Na malha \([0, 2]\) com \(h=0.2\)