Sistemas Iterativos
A solução \(\bar{x} \) de um sistema linear \(A\boldsymbol{x} = b\), nos métodos Iterativos, consiste em calcular uma sequência de \(x_1, x_2, ..., x_n\) de aproximação \(\bar{x} \), sendo dado uma aproximação \(x^{(0)} \). Para isso transforma-se o sistema dado num equivalente na forma:
\[\boldsymbol{x} = F \boldsymbol{x} + d\]Onde \(F\) é uma matriz \(n \times n\) e \(\boldsymbol{x}\) e \(d\) são matrizes \(n \times 1 \).
A matriz \(\boldsymbol{x}\) é representada por:
\[ \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} \textrm{ ou } \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots &a_{22} \end{bmatrix} ^{T} \]A matriz \(d\):
\[ d = \begin{bmatrix} \frac{b_{1}}{a_{11}} \\ \frac{b_{2}}{a_{22}} \\ \vdots \\ \frac{b_{n}}{a_{nn}} \end{bmatrix} \]Decompondo a expressão \(\boldsymbol{x} = F \boldsymbol{x} + d\) e já conhecendo as matrizes \(\boldsymbol{x}\) e \(d\), a matriz \(F\) ficaria:
\[ F = \begin{bmatrix} 0 & -a_{12} & -a_{13} & \dots & -a_{1n} \\ -a_{21} & 0 & -a_{23} & \dots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2}& -a_{n3} & \dots & 0 \end{bmatrix} \]Fórmula Genérica
Seja o sistema linear:
\[ \left\{ \begin{matrix} a_{11}x_1+ a_{12}x_2+ a_{13}x_3+ \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1+ a_{22}x_2+ a_{23}x_3+ \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1+ a_{n2}x_2+ a_{n3}x_3+\dots + a_{nn}x_n = b_n \end{matrix} \right. \]Extraindo os valores de \(x\) de cada equação:
\[ \left\{ \begin{matrix} x_1 = \frac{b_1- (a_{12}x_2+ a_{13}x_3+\dots + a_{1n}x_n) }{a_{11}} \\ x_2 = \frac{b_2- (a_{21}x_1+ a_{23}x_3+\dots + a_{2n}x_n) }{a_{22}} \\ \vdots \\ x_n = \frac{b_n- (a_{n1}x_1+ a_{n2}x_2 +\dots + a_{n,n-1}x_{n-1}) }{a_{nn}} \end{matrix} \right. \]Na forma genérica:
- Forma matemática: \[ x_i=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-\sum\limits_{\begin{matrix} j=1 \\ j\neq i \end{matrix} }^{n}{a_{ij}x_i} ) \textrm{, para } i = 1, 2, \dots, n \]
Se achar necessário, revise como implementa Somatória no Tutorial de programação da calculadora HP PPL: Implementando somatória/produtório