Método de bisseção
A primeira técnica é chamada de Teorema de Valor Intermediário, Bisseção ou Pesquisa binária.
Supondo que \(f\) seja um função contínua no intervalo \(\left[a, b \right] \) com \(f(a)\) e \(f(b)\) com sinais opostos. O valor intermediário implica num número \(p\) existente entre \(\left[a, b \right] \) em que \(f(p) \approx 0\). Esse método vai se repetindo, bissecionando o intervalo \(\left[a, b \right] \) e, e cada passo, localizando a metade desse intervalo que contenha \(p\).
Para começar, vamos utilizar o valores do intervalo \(\left[a, b \right] \) como \(\left[a_{1} , b_{1} \right] \) e \(p_{1}\) como o ponto intermerdíario: \[p_{1} = \frac{a_{1} + b_{2}}{2}\]
Com valor de \(p_{1}\) podemos ter os seguintes resultados:
- \(f(p_{1}) = 0\) : foi encontrando o resultado e valor de \(p_{1}\) e a raiz da equação \(f(x)\)
- \(f(p_{1}) \neq 0\) : não foi encontrado o resultado, com isso, o valor podemos ter dois resultados:
- \(f(p_{1})\) tem mesmo sinal que \(f(a_{1})\) : nesse caso, a raiz está entre \(p_{1}\) e \(b_{1}\):
Nesse caso os próximos limites serão \[ \left[a_{2} , b_{2} \right] = \left[p_{1} , b_{1} \right] \] - \(f(p_{1})\) tem mesmo sinal que \(f(b_{1})\) : nesse caso, a raiz está entre \(a_{1}\) e \(p_{1}\):
Nesse caso os próximos limites serão \[ \left[a_{2} , b_{2} \right] = \left[a_{1} , p_{1} \right] \]
- \(f(p_{1})\) tem mesmo sinal que \(f(a_{1})\) : nesse caso, a raiz está entre \(p_{1}\) e \(b_{1}\):
O processo continua, agora com os novos limites encontrados: \(\left[a_{2} , b_{2} \right] \): \[p_{2} = \frac{a_{2} + b_{2}}{2}\] Até que o valor de \(f(p_{n})\) seja próximo de 0, conforme o limite de erro estabelecido.
Exemplo 1
Considere os valores dados, encontre o zero da função com \(\left|\epsilon\right| < 0.01 \) (|erro| < 0.01)
\[\textrm{Função: } f(x) = x^{3}-10\] \[\textrm{Limites: }\left[2 , 2.3 \right] \]
Visualização dos limites:
| Iteração | \(a_{i}\) | \(b_{i}\) | \(f(a_{i})\) | \(f(b_{i})\) | \(p_{i}\) | \(f(p_{i})\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2.3 | -2 | 2.167 | \(\frac{2+2.3}{2} = 2.15\) | -0.06163 |
| 2 | 2.15 | 2.3 | -0.06163 | 2.167 | \(\frac{2.15+2.3}{2} = 2.225\) | 1.01514 |
| 3 | 2.15 | 2.225 | -0.06163 | 1.01514 | \(\frac{2.15+2.225}{2} = 2.1875\) | 0.46753 |
| 4 | 2.15 | 2.1875 | -0.06163 | 0.46753 | \(\frac{2.15+2.1875}{2} = 2.16875\) | 0.20066 |
| 5 | 2.15 | 2.16875 | -0.06163 | 0.20066 | \(\frac{2.15+2.16875}{2} = 2.159375\) | 0.06895 |
| 6 | 2.15 | 2.159375 | -0.06163 | 0.06895 | \(\frac{2.15+2.159375}{2} = 2.1546875\) | 0.00352 |
O resulta pode ser visto na última linha, o Resultado: \(f(2.1546875) = 0.00352\) que é menor que nosso valor de erro (\(\left|\epsilon\right| < 0.01 \)), portanto:
\[x = 2.1546875\]
Exemplo 2
Considere os seguintes valores dados, encontre o zero da função com \(\left|\epsilon\right| < 0.01 \) (|erro| < 0.01)
\[\textrm{Função: } f(x) = 2x^{3} - 2x - cos(x^{3}) - 1\] \[\textrm{Limites: }\left[1.1 ,1.3\right] \]
Visualização dos limites:
| Iteração | \(a_{i}\) | \(b_{i}\) | \(f(a_{i})\) | \(f(b_{i})\) | \(p_{i}\) | \(f(p_{i})\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.1 | 1.3 | -0.7755 | 1.38007 | \(\frac{1.1+1.3}{2} = 1.2\) | 0.21256 |
| 2 | 1.1 | 1.2 | -0.7755 | 0.21256 | \(\frac{1.1+1.2}{2} = 1.15\) | -0.30815 |
| 3 | 1.15 | 1.2 | -0.30815 | 0.21256 | \(\frac{1.15+1.2}{2} = 1.175\) | -0.05412 |
| 4 | 1.175 | 1.2 | -0.05412 | 0.21256 | \(\frac{1.175+1.2}{2} = 1.1875\) | 0.0777 |
| 5 | 1.175 | 1.1875 | -0.05412 | 0.0777 | \(\frac{1.175+1.1875}{2} = 1.18125\) | 0.0114 |
| 6 | 1.175 | 1.18125 | -0.05412 | 0.0114 | \(\frac{1.175+1.18125}{2} = 1.178125\) | -0.02145 |
| 7 | 1.178125 | 1.18125 | -0.02145 | 0.0114 | \(\frac{1.178125+1.18125}{2} = 1.1796875\) | -0.00505 |
Resultado: \(f(1.1796875) = -0.00505\) que é menor que nosso valor de erro (\(\left|\epsilon\right| < 0.01 \)), portanto:
\[x = 1.1796875\]
Atividade 1
Encontre a raiz para as funções e limites dados abaixo:
- \(\textrm{Função: } f(x) = 4x^{7} - 8x^{3} +2\) \(\textrm{, Limites: }\left[1 ,1.2\right] \)
- \(\textrm{Função: } f(x) = \frac{2x^{3}-10 }{x^{2}} +1\) \(\textrm{, Limites: }\left[1.9 ,1.3\right] \)
- \(\textrm{Função: } f(x) = \frac{2x^{4}}{\cos (x)}-2 \) \(\textrm{, Limites: }\left[0.5 ,1\right] \)
Atividade 2
O programa a seguir serve para ajudar onde deve ser inserido o valor do \( X\) calculado. No exemplo, a função \( f(x) = 2x^3 - 3x + 1 \) com os valores iniciais \(\left[-1.5, 0\right] \), o valor calculado do novo X é igual e \( -0.75 \), se esse valor for colocado na coluna do A, irá apresenta "errado", pois o \( f(-1.5) = -1.25 \) e \( f(-0.75) = 2.406 \), ocorrendo que não haverá raiz no novo valor de A \( (-0.75) \) e B, por isso, o valor \(-0.75\) deve ser inserido em B, e o valor de deve ser repetido.
Complete aos próximos passos desse exemplo e utilize os exemplos da atividades anterior para conferir.