Método de Newton - Fórmula
Sejam os \(n\) pontos distintos \((x_i, y_i), i = 1, 2, \ldots, n \) e \(P_{n-1}(x)\) o polinômio interpolador de grau \(n-1\) que conterá estes pontos.
Pela definição de diferenças divididas tem-se:
\[P[x, x_1] = \frac{P_{n-1}(x) -P_{n-1}(x_1) }{x-x_1} \]Logo:
\[P_{n-1}(x) = P_{n-1}(x_1) + (x-x_1) P[x, x_1]\]Ainda:
\[P[x, x_1, x_2] = \frac{P[x, x_1]-P[x_1, x_2] }{x-x_2} \]como:
\[P[x, x_1] = P[x_1, x_2] + (x-x_2)P[x, x_1, x_2]\]Levando:
\[P_{n-1}(x) = P_{n-1}(x_1) + (x-x_1) P[x_1, x_2] + (x-x_1)(x-x_2)P[x, x_1, x_2]\]Mais:
\[P[x, x_1, x_2] = (x-x_3)P[x, x_1, x_2,x_3] + P[x_1, x_2, x_3]\]Obtemos:
\[\begin{matrix} P_{n-1}(x) = P_{n-1}(x_1) + (x-x_1) P[x, x_1] + \\ (x-x_1)(x-x_2)P[x_1, x_2, x_3] + \\ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)P[x, x_1, x_2, x_3] \end{matrix} \]Continuando o desenvolvimento temos:
\[ \begin{matrix} P_{n-1}(x) = P_{n-1}(x_1) + (x-x_1) P[x, x_1] + \\ (x-x_1)(x-x_2)P[x_1, x_2, x_3] + \\ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)P[x, x_1, x_2, x_3] +\ldots+ \\ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\ldots(x-x_{n-1}) P[x1, x_2, \ldots, x_{n-1}] + \\ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\ldots(x-x_{n}) P[x, x_1,x_2 \ldots, x_n] \end{matrix} \]Mas como \(P_{n-1}(x)\) é de grau \(n-1\), resulta que \(P[x, x_1,x_2 \ldots, x_n] = 0\), ainda, fazendo \(P_{n-1}(x_1) = y_1\), temos:
\[\begin{matrix} P_{n-1}(x) = y_1 + (x-x_1) P[x1, x_2] + \\ (x-x_1)(x-x_2)P[x_1, x_2, x_3] +\ldots+ \\ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\ldots(x-x_{n-1}) P[x1, x_2, \ldots, x_n] \end{matrix} \]Fazendo \(P[x, x_1,x_2 \ldots, x_i] = \triangledown^i_{y_i}\) (para representar a diferença dividida também é utilizado o símbolo: 
) temos:
De forma sintética:
\[P_{n-1}(x) = y_1+\sum\limits_{i=1}^{n}{ \triangledown^i_{y1} \prod\limits_{j= 1}^{i}{x-x_{j}}}\]
Exemplo 1
Dado os pontos
\[ \begin{matrix} \textbf{x} &-1 &0 &0.5 &1.5 \\ \hline \textbf{y} &-4 &-2 &-2.125 &-8.375 \end{matrix} \]A a Tabela de diferenças divididas:
\[ \begin{matrix} \textbf{x} & \textbf{y} & \triangledown^1_{y_i} & \triangledown^2_{y_i} & \triangledown^3_{y_i} \\ \hline \colorbox{BurntOrange}{-1} & \color{yellow}\colorbox{black}{-4} & \color{Cyan}\colorbox{black}{2} & \color{pink}\colorbox{black}{-1.5} & \color{green}\colorbox{black}{-1} \\ \colorbox{green}{0} & -2 & -0.25 & -4 \\ \colorbox{lightblue}{0.5} & -2.125 & -6.25 \\ 1.5 & -8.375 \end{matrix} \]O desenvolvimento do polinômio pelo método de Newton:
\[ \begin{matrix} P_3(x) = \color{yellow}\colorbox{black}{-4}\color{black} + \color{Cyan}\colorbox{black}{2}\color{black} \times (x - (\colorbox{BurntOrange}{-1}))+ (\color{pink}\colorbox{black}{-1.5}\color{black} ) \times (x - (\colorbox{BurntOrange}{-1})) (x - \colorbox{green}{0})+ (\color{green}\colorbox{black}{-1}\color{black}) \times (x - (\colorbox{BurntOrange}{-1})) (x - \colorbox{green}{0}) (x - \colorbox{lightblue}{0.5}) \\ \\ P_3(x) = -4 + 2 \times (x + 1) + (-1.5 )\times (x^2 + x + 0) + (-1 )\times (x^3 + 0.5x^2 - 0.5x + 0) \\ \\ P_3(x) = -4 + (2x + 2) + (-1.5x^2 - 1.5x + 0) + (-x^3 - 0.5x^2 + 0.5x + 0) \end{matrix} \]Resultando em:
\[ P_3(x) = -x^3 - 2x^2 + x - 2 \]Exemplo 2
Os pontos:
\[ \begin{matrix} \textbf{x} &1 &3 &3.5 &4.5 &6.5 \\ \hline \textbf{y} &5 &179 &327.5 &881.75 &3775.25 \end{matrix} \]A matriz de Diferenças divididas:
\[ \begin{matrix} \textbf{x} & \textbf{y} & \triangledown^1_{y_i} & \triangledown^2_{y_i} & \triangledown^3_{y_i} & \triangledown^4_{y_i} \\ \hline 1 & 5 & 87 & 84 & 25 & 2 \\ 3 & 179 & 297 & 171.5 & 36 \\ 3.5 & 327.5 & 554.25 & 297.5 \\ 4.5 & 881.75 & 1446.75 \\ 6.5 & 3775.25 \end{matrix} \]Desenvolvendo:
\[ \begin{matrix} P_4(x) = 5 + 87 \times (x - 1)+ 84 \times (x - 1) (x - 3)+ 25 \times (x - 1) (x - 3) (x - 3.5)+ 2 \times (x - 1) (x - 3) (x - 3.5) (x - 4.5) \\ \\ P_4(x) = 5 + 87 \times (x - 1) + 84 \times (x^2 - 4x + 3) + 25 \times (x^3 - 7.5x^2 + 17x - 10.5) + 2 \times (x^4 - 12x^3 + 50.75x^2 - 87x + 47.25)\\ \\ P_4(x) = 5 + (87x - 87) + (84x^2 - 336x + 252) + (25x^3 - 187.5x^2 + 425x - 262.5) + (2x^4 - 24x^3 + 101.5x^2 - 174x + 94.5)\\ \\ \end{matrix} \]Resultando no polinômio:
\[P_4(x) = 2x^4 + x^3 - 2x^2 + 2x + 2\]Atividade
Dado os pontos e as tabelas de diferença divididas, calcule o polinômio interpolador das questões abaixo:
-
Pontos:
\[ \begin{matrix} \textbf{x} &2 &3 &4.5 \\ \hline \textbf{y} &-1 &-4 &-12.25 \end{matrix}\]Tabela de diferenças divididas:
\[ \begin{matrix} \textbf{x} & \textbf{y} & \triangledown^1_{y_i} & \triangledown^2_{y_i} \\ \hline 2 & -1 & -3 & -1 \\ 3 & -4 & -5.5 \\ 4.5 & -12.25 \end{matrix} \] -
Pontos:
\[ \begin{matrix} \textbf{x} &-2 &-0.5 &0.5 &2 \\ \hline \textbf{y} &14 &1.625 &3.375 &6 \end{matrix} \]Tabela de diferenças divididas:
\[ \begin{matrix} \textbf{x} & \textbf{y} & \triangledown^1_{y_i} & \triangledown^2_{y_i} & \triangledown^3_{y_i} \\ \hline -2 & 14 & -8.25 & 4 & -1 \\ -0.5 & 1.625 & 1.75 & 0 \\ 0.5 & 3.375 & 1.75 \\ 2 & 6 \end{matrix} \] -
Pontos:
\[ \begin{matrix} \textbf{x} &-2 &-0.5 &0.5 &2 &4 \\ \hline \textbf{y} &7 &0.0625 &-1.4375 &31 &391 \end{matrix} \]Tabela de diferenças divididas:
\[ \begin{matrix} \textbf{x} & \textbf{y} & \triangledown^1_{y_i} & \triangledown^2_{y_i} & \triangledown^3_{y_i} & \triangledown^4_{y_i} \\ \hline -2 & 7 & -4.625 & 1.25 & 2 & 1 \\ -0.5 & 0.0625 & -1.5 & 9.25 & 8 \\ 0.5 & -1.4375 & 21.625 & 45.25 \\ 2 & 31 & 180 \\ 4 & 391 \end{matrix} \]