Método de Newton

Seja \(f(x)\) uma função contínua no intervalo \(\left[a, b \right] \), e \(\varepsilon \) o seu único zero nesse intervalo; as derivadas \(f'(x)(f'(x)\neq 0) \) e \(f''(x)\) devem também ser contínuas. Encontra-se uma aproximação \(p_(n)\) para a raiz \(\varepsilon \) e é feita uma expansão da série de Taylor para \(f(p) = 0\): \[f(x) \doteq f(p) + f'(p_{n})(p-p_{n})\] \[f(p_{n+1}) \doteq 0 = f(p_{n}) + f'(p_{n})(p_{n+1}-p_{n})\] \[\frac{-f(p_{n})}{f'(p_{n})} = p_{n+1}-p_{n} \]

Onde \(p_{n+1}\) é uma aproximação para a raiz \(\varepsilon \).

Escolha de \(p_{0}\)

Para que o Método de Newton convirja, o valor escolhido inicial de \(p_{0}\) deve:

• \(f'(x) \textrm{ e } f''(x)\) sejam não nulos e preservem o sinal em \(\left(a, b\right) \)
• \(f(p_0)\cdot f''(p_0)\gt 0\)

Exemplo 1

Considere os valores dados, através do Método de Newton encontre o zero da função com \(\left|\epsilon\right| < 0.001 \)

Inicialmente verificamos a condição de \(p_{0}\):

• \(f'(x) \textrm{ e } f''(x)\) sejam não nulos e preservem o sinal em \(\left(a, b\right) \)

  \(f'(x) = 3x^2 \) e \(f''(x) = 6x \) não sao nulos. Se for aplicarmos essas funções num gráficos, elas mantêm o sinal entre \(\left(2, 3\right) \)

• \(f(p_0)\cdot f''(p_0)\gt 0\)

  \(f(2)\cdot f''(2) = -24\) \(\Rightarrow \) valor ter que ser \(\gt 0\)

  \(f(3)\cdot f''(3) = 306\) \(\Rightarrow \) o valor 3 será nosso \(p_0\)

Resultado: \(f(2.15443) = -0.00007\) que é menor que nosso valor de erro (\(\left|\epsilon\right| < 0.001 \)), portanto:

Encontranda a derivada na HP Prime

A calculadora HP Prime apresenta uma forma simples de encontrar a derivada de função, por exemplo, para encontrar a derivada primeira e derivada segunda da função: \(f(x) = x^{2} +3x - 2\) podemos fazer no terminal:

F1(X):=X^2+3*X-2
diff(F1)
diff(diff(F1))

Veja o resultado:

Perceba que quando for digitado o comando diff() ele é substituído pelo símbolo \('\), na prática, pode ser utilizado esse símbolo para se encontrar a derivada. Ele pode ser encontrando na combinação de teclas: e depois . Porém aparecerá 2 aspas, se desejar obter a derivada primeira, uma delas deve ser retirada.

Na programação HP PPL, apenas a forma diff() do comando é válida, uma recomendação é salvar numa variável da calculadora, veja o exemplo (lembrando que a variável F1 tem a função digitada no código anterior):

EXPORT derivadas()
BEGIN
  F2 := diff(F1);
  F3 := diff(diff(F2));
  
  PRINT();
  PRINT("F1: " + F1);
  PRINT("F2: " + F2);
  PRINT("F3: " + F3);

END;

Exemplo 2

Considere os valores dados, através do Método de Newton encontre o zero da função com \(\left|\epsilon\right| < 0.001 \)

Inicialmente verificamos a condição de \(p_{0}\):

• \(f'(x) \textrm{ e } f''(x)\) sejam não nulos e preservem o sinal em \(\left(a, b\right) \)

  \(f'(x) = 6x^2-2+3x^2*\sin(x^3) \) e \(f''(x) = 6x*\sin(x^3)+9x^2*\cos(x^3)+12x \) não sao nulos. Se for aplicarmos essas funções num gráficos, elas mantêm o sinal entre \(\left(1.1 ,1.3\right) \)

• \(f(p_0)\cdot f''(p_0)\gt 0\)

  \(f(1.1)\cdot f''(1.1) = −17.63554\) \(\Rightarrow \) valor ter que ser \(\gt 0\)

  \(f(1.3)\cdot f''(1.3) = 9.460492\) \(\Rightarrow \) o valor 1.3 será nosso \(p_0\)

Resultado: \(f(1.18021) = 0.00045\) que é menor que nosso valor de erro (\(\left|\epsilon\right| < 0.001 \)), portanto:

Atividade 1

Utilizando o método de Newton, encontre a raiz para as funções e limites dados abaixo:

• \(\textrm{Função: } f(x) = 4x^{7} - 8x^{3} +2\) \(\textrm{, Limites: }\left[1 ,1.2\right] \)
• \(\textrm{Função: } f(x) = \frac{2x^{3}-10 }{x^{2}} +1\) \(\textrm{, Limites: }\left[1.9 ,1.3\right] \)
• \(\textrm{Função: } f(x) = \frac{2x^{4}}{\cos (x)}-2 \) \(\textrm{, Limites: }\left[0.5 ,1\right] \)